平均数 / 平均数变化

Core Idea

平均数题本质上是“总量 / 份数”的比值题。先判断总量和份数谁增长更快，再决定是否需要精算。

Mechanism / Formula

设总量为 A，份数为 B：

$$\text{平均数}=\frac{A}{B}$$

常见题型：

营业收入 / 企业数 → 平均每家企业营业收入
利润总额 / 企业数 → 平均每家企业利润
工资总额 / 就业人数 → 人均工资
销售额 / 销量 → 平均售价

1. 基期平均数

现期总量和份数分别增长 r_A、r_B：

$$\boxed{{\displaystyle \text{基期平均数}=\text{现期平均数}\times \frac{1+r_B}{1+r_A}}}$$

这不是新公式，而是基期比值公式直接应用。

2. 平均数变化方向

r_A > r_B → 平均数上升
r_A < r_B → 平均数下降
r_A = r_B → 平均数不变

方向题不需要计算平均数本身。

3. 平均数增长率

由比值增长率公式：

$$\frac{(1+r_A)}{(1+r_B)}-1$$

整理得：

$$\boxed{{\displaystyle r_{avg}=\frac{r_A-r_B}{1+r_B}}}$$

高频速算结构：

总量增长率 - 份数增长率
----------------------
      1 + 份数增长率

Why / Trade-off

简单做：

$$r_A-r_B$$

只能作为方向判断或粗估，不能作为精确平均数增长率。

真正的变化是两个增长因子的相除：

$$\frac{1+r_A}{1+r_B}$$

因此分母必须保留 1+r_B。

Minimal Example

工资总额增长 18%，就业人数增长 8%。

人均工资：

18% > 8%
→ 一定上升

若问精确增长率：

$$\frac{18\mathrm{\%}-8\mathrm{\%}}{1+8\mathrm{\%}}=\frac{10\mathrm{\%}}{1.08}\approx 9.26\mathrm{\%}$$

若员工数下降 4%，收入增长 12%：

$$\frac{12\mathrm{\%}-(-4\mathrm{\%})}{1-4\mathrm{\%}}=\frac{16\mathrm{\%}}{0.96}\approx 16.67\mathrm{\%}$$

因此负增长要带符号进入公式，不能机械做正数相减。

Speed Points

1. 先判方向，再看选项

若题目只问上升/下降：

只比较 r_A 和 r_B

2. 分数化简优先于长除

例如：

$$\frac{18\mathrm{\%}-12.5\mathrm{\%}}{1+12.5\mathrm{\%}}=\frac{5.5}{112.5}\approx 4.9\mathrm{\%}$$

若能约分或识别特殊比例，优先处理比例关系，不做完整小数长除。

3. 选项决定精度

如果选项差 2–3 个百分点，粗估即可；若选项只差 0.3–0.5 个百分点，再精算。

Boundaries / Gotchas

• 平均数 = 总量 / 份数，不要把分子分母写反。
• 平均数增长率不是 r_A-r_B，而是 (r_A-r_B)/(1+r_B)。
• r_B 为负时，1+r_B 仍按带符号增长率计算。
• “平均每家”“人均”“平均售价”通常都可直接识别为平均数结构。

Links

• Practice: 04_Practice/EPI/Data_Analysis_Lesson_2.md
• Mistakes: 05_Mistakes/EPI.md
• Related Topics: 05_ratio-multiple.md, 08_integrated-calculation-strategy.md