多期增长 / 年均增长

Core Idea

多期增长不能机械相加，要把每一期转成“增长因子”后相乘；年均增长则是反过来求等效增长因子。

Mechanism / Formula

1. 两期累计增长

若两期增长率分别为 r_1、r_2：

$$\boxed{{\displaystyle R=(1+r_1)(1+r_2)-1}}$$

展开：

$$R=r_1+r_2+r_1{r}_2$$

因此连续增长 10% 和 20%：

$$1.1\times 1.2-1=32\mathrm{\%}$$

不是 30%。

2. 连续 n 期同增长率

$$\boxed{{\displaystyle R=(1+r{)}^n-1}}$$

例如连续三年增长 10%：

$${1.1}^3-1=33.1\mathrm{\%}$$

3. 一涨一跌

同幅度先涨 r 再跌 r：

$$(1+r)(1-r)=1-r^2$$

所以一定低于原值。

例如：

$$1.2\times 0.8=0.96$$

即最终下降 4%。

4. 回到原值所需的反向变化

若先下降 d，剩余：

$$1-d$$

要回到 1，需要上涨：

$$\boxed{{\displaystyle \frac{d}{1-d}}}$$

例如先下降 20%：

$$\frac{20\mathrm{\%}}{80\mathrm{\%}}=25\mathrm{\%}$$

所以：

-20% → +25% → 恰好回到原值

同理，先上涨 r 后回到原值所需下降率：

$$\boxed{{\displaystyle \frac{r}{1+r}}}$$

例如：

+25% → -20% → 恰好回到原值

5. 年均增长率

从 A_0 增至 A_n，共有 n 个增长区间：

$$A_n=A_0(1+r{)}^n$$

所以：

$$\boxed{{\displaystyle r={\left(\frac{A_n}{A_0}\right)}^{1/n}-1}}$$

注意：n 是时间间隔数，不是年份标签个数。

例如：

2022 → 2023 → 2024 → 2025

有 4 个年份节点，但只有 3 个增长区间，因此：

n = 3

Why / Trade-off

增长率的分母随时期变化，所以不能把多个百分数直接相加。

真正可连续相乘的是：

增长率 r
→ 增长因子 1+r

因此多期问题统一转化为“增长因子连乘”。

Minimal Example

2022 年某指标为 800，2025 年为 1064.8。

$$\frac{1064.8}{800}=1.331={1.1}^3$$

2022 到 2025 有 3 个增长区间，所以年均增长率为：

$$10\mathrm{\%}$$

Speed Points

1. 年均增长难开方时优先代选项

如果：

$$(1+r{)}^3=1.5$$

选项为 12%、14.5%、15%、16.5%，不必直接求三次方根。

可以验证：

$${1.15}^3\approx 1.521$$

略高于 1.5，因此答案应略低于 15%，优先锁定 14.5%。

2. 先看是否能识别整齐幂

高频：

1.1² = 1.21
1.1³ = 1.331
1.2² = 1.44
1.2³ = 1.728
1.5² = 2.25

遇到接近这些比例时，可直接反推增长率。

3. “回到原值”看增长因子乘积

不要判断百分数正负是否“刚好抵消”，直接看：

$$\prod (1+r_i)$$

是否等于 1。

Boundaries / Gotchas

• 连续增长率一般不能直接相加。
• 同幅度上涨再下跌一定低于原值。
• -20% 后需要 +25% 才能恢复，不是 +20%。
• 年均增长率中的指数是增长区间数。
• 若题目只要求“最接近”，优先代选项，不做高精度开方。

Links

• Practice: 04_Practice/EPI/Data_Analysis_Lesson_2.md
• Mistakes: 05_Mistakes/EPI.md
• Related Topics: 01_growth-basics.md, 08_integrated-calculation-strategy.md